Α.Κί.ΔΑ

 

 

 

 

Ποιοι είναι Online

Έχουμε 221 επισκέπτες συνδεδεμένους

 

 

Η γνώμη σας μετρά

Για ποια θα θέλατε να ενημερώνεστε περισσότερο σε αυτή τη σελίδα;






Αποτελέσματα

ΑΚΙΔΑ Facebook

Τύπος απείρου γινομένου του Euler και πρώτοι

Η συνάρτηση Ζήτα, ο τύπος γινομένου του Euler και οι πρώτοι αριθμοί

 

Το άπειρο άθροισμα

 

1 + 1 / 2ª + 1 / 3ª +1 / 4ª +1 / 5ª + ..... 1 / νª + ........

 

ονομάζεται συνάρτηση Ζήτα. Αποτελείται από τους αντίστροφους των φυσικών αριθμών¹ , υψωμένους στον ίδιο εκθέτη, τον όποίο θα συμβολίσουμε στο άρθρο αυτό με το αγγλικό γράμμα a. Για τους σκοπούς της μελέτης αυτής θεωρούμε ότι το a παίρνει μόνο πραγματικές τιμές. Η συνάρτηση ζ λοιπόν γράφεται.

 

ζ (a ) = 1 + 1 / 2ª + 1 / 3ª +1 / 4ª +1 / 5ª + ..... 1 / νª + ........                       (1)

 

ή συντομότερα

 

              

ζ (a ) = ∑ (1 / νª )                       (2)

                   ν = 1

 

Πώς όμως συνδέεται η συνάρτηση ζ με τους πρώτους αριθμούς; Ο μεγάλος μαθηματικός Euler² μετέτρεψε το άπειρο άθροισμα της συνάρτησης ζ σε άπειρο γινόμενο, με τη βοήθεια των πρώτων αριθμών. Η διαδικασία που χρησιμοποίησε θυμίζει το κόσκινο του Ερατοσθένη. Το άπειρο γινόμενο του Euler τον βοήθησε να παράγει τη δεύτερη, μετά τον Ευκλείδη, απόδειξη ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι. Θα παρουσιάσουμε τόσο το άπειρο γινόμενο όσο και την απόδειξη κατωτέρω.

 

Η μετατροπή του αθροίσματος σε  γινόμενο

 

Ο Euler πολλαπλασίασε τη συνάρτηση ζ με το αντίστροφο του 2 υψωμένο στη δύναμη a. Ακολούθως αφαίρεσε τη νέα συνάρτηση που βρήκε από τη συνάρτηση Ζήτα

 

ζ (a ) = 1 + 1 / 2ª + 1 / 3ª +1 / 4ª +1 / 5ª + ..... 1 / νª + ........

 

(½) ª ζ (a ) = 1 / 2ª + 1 / 4ª +1 / 6ª + 1 / 8ª..... 1 / 2νª + ........

 

→ [ 1 – (½)ª] ζ (a ) = 1+ 1 / 3ª + 1 / 5ª +1 / 7ª + 1 / 9ª..... 1 / (2ν – 1)ª + ........       (3)

 

Ακολούθως πολλαπλασίασε την (3) με την αντίστοιχη δύναμη του αντίστροφου του δεύτερου πρώτου αριθμού, δηλαδή του 3. Ακολούθως αφαίρεσε τη σχέση που προέκυψε από την (3) για να «διώξει» από τη συνάρτηση Ζήτα τα αντίστροφα πολλαπλάσια του 3.

 

 

( [ 1 – ( ½ ) ª ] ζ (a ) =  1 / 3ª + 1 / 9ª +1 / 15ª + 1 / 21ª+ 1 / 27ª..... + ........       

 

[1– (⅓) ª] [1 - (½)ª ] ζ (a ) = 1+  1 / 5ª + 1 / 7ª +1 / 11ª + 1 / 13ª + 1/17ª....       (4)

 

Η διαδικασία επαναλαμβάνεται. Πολλαπλασιάζουμε τη σχέση (4) με το αντίστροφο του τρίτου πρώτου αριθμού, δηλαδή του 5, υψωμένου στη δύναμη a. Έχουμε:

 

(1/5) ª [1 – (⅓) ª ][ 1 -  (½)ª ] ζ (a ) = 1 / 5ª + 1 / 25ª +1 / 35ª + 1 / 55ª + 1/65ª.... 

 

→ [ 1- (1/5) ª ] [1 – (⅓)ª ] [ 1 -  (½)ª ] ζ (a ) = 1+ 1 / 7ª + 1 / 11ª +1 / 13ª +  1/17ª...         (5)

 

Αν συνεχίσω με τον ίδιο τρόπο να πολλαπλασιάζω τη συνάρτηση με τα αντίστροφα των πρώτων υψωμένα στη δύναμη a  και μετά να τα αφαιρώ από την προηγούμενη συνάρτηση,  θα προκύψει τελικά η σχέση:

 

 

∏ [ 1 – (1/p) ª ] ζ (a ) = 1                                         (6)

P

 

Στη σχέση 6 το γράμμα Π συμβολίζει το γινόμενο, ενώ το p συμβολίζει τους πρώτους αριθμούς. Στα δεξιά του ίσον μένει μόνο η μονάδα, γιατί:

 

1.  Όλοι οι άλλοι όροι απαλείφονται, αν θεωρήσουμε ότι ο αριθμός των πρώτων είναι πεπερασμένος.

 

2. Εναλλακτικά, αν υπάρχουν άπειροι πρώτοι,  η αξία των όρων στα δεξιά της μονάδας τείνει στο μηδέν. Η σχέση διαβάζεται:

 

Το γινόμενο των διαφορών της μονάδας με τους  αντίστροφους των πρώτων, που είναι υψωμένοι στη δύναμη a  επί τη συνάρτηση Ζήτα ισούται με 1.

 

Αν λύσουμε τη σχέση ως προς ζ (a ) προκύπτει ότι:

 

ζ (a ) = ∏ { 1/ [ 1 – (1/p) ª ] }                       (7)

            P

 

Παραδείγματα μετατροπής της συνάρτησης Ζήτα σε άπειρο γινόμενο.

 

Παράδειγμα 1

 

Να μετατραπεί η αρμονική σειρά σε άπειρο γινόμενο

 

Για a = 1, η συνάρτηση Ζήτα μετατρέπεται στη γνωστή μας αρμονική σειρά. Έχουμε:

 

ζ (1) = 1 + 1 / 2 + 1 / 3 +1 / 4 +1 / 5 + ..... 1 / ν + ........  (8)

 

Με βάση τη σχέση (7) που έχουμε καταδείξει προηγουμένως έχουμε:

 

ζ (1 ) = ∏ { 1/ [ 1 – (1/p)  ] }  = 1/ [( 1 – ½ ) ( 1 - ⅓ ) ( 1 – 1/5 ) .....( 1 – 1/p )..                    

            P

 

→ ζ (1) = ( 2/1) ( 3/2 ) ( 5/4) ( 7/6) ……..[p/(p-1)]…            (9)

 

Όπου p πρώτος αριθμός

 

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (8) και (9) έχουμε:

 

1 + 1 / 2 + 1 / 3 +1 / 4 +1 / 5 + ...1 / ν + ...  = ( 2/1) ( 3/2 ) ( 5/4) ( 7/6)...[p/(p-1)]… 

 

ή

 

 ζ (1) = ∏ ( P )/∏ (P – 1 )

             P               P

 

Η ανωτέρω σχέση μπορεί να διατυπωθεί λεκτικά ως εξής:

 

Το άθροισμα των αντίστροφων των φυσικών αριθμών ισούται με το γινόμενο των πρώτων αριθμών δια του γινομένου των αριθμών που είναι κατά μία μονάδα μικρότεροι από τους πρώτους.

 

Παράδειγμα 2

 

Να γραφεί η   ζ (2) ως άπειρο γινόμενο

 

Η  ζ (2) αποτελεί το άπειρο άθροισμα των αντίστροφων των τετραγώνων των φυσικών αριθμών. Έχουμε:

 

ζ (2) = 1 + 1/2² + 1/3² +1/4² +.....1/ν²....          όπου ν φυσικός αριθμός. Με βάση τη σχέση 7 έχουμε

 

ζ (2 ) = ∏ { 1/ [ 1 – (1/p) ² ] }                      

            P

 

 

ζ (2 ) = [ 1 / ( 1 – 1/2² ) ] [ 1 / ( 1 – 1/3² ) ] [ 1 / ( 1 – 1/5² ) ] [ 1 / ( 1 – 1/7² ) ]....

 

ζ (2 ) = [ 2²/( 2² - 1) ] [ ( 3²/(3² - 1) ] [( 5²/(5²- 1)] [ (7²/(7² - 1 )]....[ p²/ (p² - 1) ] ..   (10)

 

Η σχέση (10) μπορεί να γραφεί και ως εξής:

 

1 + 1/2² + 1/3² +1/4² +.....1/ν².... = ( 2². 3². 5² . 7² . .. p²....) / [ (2² - 1) ( 3² - 1).... (p² - 1)... ]

 

Γιατί υπάρχουν άπειροι πρώτοι;

 

Σε προηγούμενα άρθρα μας είχαμε παρουσιάσει την απόδειξη του Ευκλείδη ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι. Επίσης είχαμε παρουσιάσει μια από τις αποδείξεις που υπάρχουν ότι η αρμονική σειρά αποκλίνει. Αυτά τα δύο δεδομένα, που ήταν γνωστά και αποδειγμένα στην εποχή του Euler, τον βοήθησαν να καταδείξει με απλό τρόπο ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι. Η απόδειξη είναι η ακόλουθη:

 

1. Έχουμε αποδείξει ότι η αρμονική σειρά μπορεί να γραφεί ως το πηλίκο δύο γινομένων, δηλαδή:

 

 

1 + 1 / 2 + 1 / 3 +1 / 4 +1 / 5 + ...1 / ν + ...  = ∏ ( P )/∏ (P – 1 ).

                                                                         P               P

Όπου:

 

 ∏ ( P )  συμβολίζει το γινόμενο όλων των φυσικών αριθμών που είναι πρώτοι

 P

 

και

 

∏ (P – 1 ) 

P

 

συμβολίζει το γινόμενο όλων των αριθμών που προκύπτουν αν μειώσουμε τους πρώτους κατά μία μονάδα.

 

Είναι φανερό ότι αν ο αριθμός των πρώτων είναι πεπερασμένος, τότε και τα προαναφερθέντα γινόμενα είναι πεπερασμένα.. Έστω λοιπόν ότι:

 

 

∏ ( P )  = α

P

 

 

και

 

∏ (P – 1 )  = β

P

 

Είναι φανερό ότι οι α και β είναι πεπερασμένοι φυσικοί αριθμοί με α > β.

 

Προφανώς ισχύει ότι:

 

 

1 + 1 / 2 + 1 / 3 +1 / 4 +1 / 5 + ...1 / ν + ...  =  α / β

 

→ ζ (1) προφανώς συγκλίνει, αφού  α / β ρητός, πεπερασμένος αριθμός και α /β > 1

 

Το συμπέρασμα όμως είναι φανερά λανθασμένο, γιατί η απόκλιση της αρμονικής σειράς είχε ήδη αποδειχθεί αιώνες πριν τον Euler. Προφανώς η αρχική μας υπόθεση ότι υπάρχει πεπερασμένος αριθμός πρώτων δεν ευσταθεί και άρα υπάρχουν άπειροι πρώτοι. Η απόδειξη μας έχει ολοκληρωθεί.

 

Σημειώσεις

 

1. Φυσικοί καλούνται οι μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί. Συμβολίζονται με το αγγλικό γράμμα N. Η θεωρία αριθμών θεωρεί ότι οι φυσικοί αριθμοί δεν περιλαμβάνουν το μηδέν, σε αντίθεση με τη θεωρία συνόλων που το περιλαμβάνει.

 

2. Ο Leonard Euler (1707 – 1783 ) ήταν κορυφαίος Ελβετός Μαθηματικός. Είχε ουσιώδη συμβολή στην ανάπτυξη του  διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού. Επίσης έχει βασικές συνεισφορές στην ανάπτυξη της τριγωνομετρίας, αναλυτικής γεωμετρίας και της θεωρίας αριθμών. Στο γραπτό του έργο περιλαμβάνονται 75 τόμοι με 45 χιλιάδες σελίδες περιεχόμενο στα ανώτερα μαθηματικά. Είχε εκπληκτική μνήμη, η οποία τον βοήθησε να συνεχίσει να λύει μαθηματικά προβλήματα από μνήμης στα τελευταία χρόνια της ζωής του, όταν ήταν τυφλός.

 

Μιχάλης Α. Πόλης

 

Επιτρέπεται η αναδημοσίευση μέρους ή του συνόλου του άρθρου αυτού με αναφορά στο συγγραφέα και στην ιστοσελίδα που τον φιλοξενεί.

 

 

Εκπαιδευτικό Υλικό

 

facebook Twitter YouTube
Τελευταία Ενημέρωση:
Κυριακή,
25/11/2018 20:08