Α.Κί.ΔΑ

 

 

 

 

Ποιοι είναι Online

Έχουμε 131 επισκέπτες συνδεδεμένους

 

 

Η γνώμη σας μετρά

Για ποια θα θέλατε να ενημερώνεστε περισσότερο σε αυτή τη σελίδα;






Result

ΑΚΙΔΑ Facebook

Απαγωγή εις άτοπο και αρμονική σειρά

Μιχάλης Α. Πόλης Εκπαιδευτικός

Η απόδειξη μιας μαθηματικής πρότασης είναι κάποτε αδύνατη αν προσπαθήσουμε να καταδείξουμε την ορθότητα της απευθείας. Από την άλλη ενίοτε  είναι ευκολότερο να αποδείξουμε ότι η αντίθετη πρόταση  είναι λανθασμένη. Με βάση την αρχή του αποκλειόμενου μέσου, δύο αντιφατικές προτάσεις δεν μπορεί να είναι και οι δύο ορθές ή και οι δύο λανθασμένες. Αν η μια είναι ορθή, η άλλη είναι λανθασμένη και το αντίστροφο. Αν καταφέρουμε λοιπόν να αποδείξουμε ότι η αντίθετη πρόταση είναι λανθασμένη τότε αξιωματικά η προς απόδειξη πρόταση μας είναι ορθή. Πρόκειται για την μέθοδο απόδειξης που είναι γνωστή με το όνομα  Απαγωγή εις άτοπο¹ .

Ως παράδειγμα χρήσης της μεθόδου της απαγωγής εις άτοπο θα παραθέσουμε την απόδειξη απόκλισης του αθροίσματος των απείρων όρων της αρμονικής σειράς². Θεωρούμε καταρχήν ως δεδομένο, με βάση το λογικό αξίωμα του αποκλειόμενου μέσου, ότι η αρμονική σειρά είτε συγκλίνει είτε αποκλίνει. Είναι όμως αδύνατον να αποφανθούμε εκτελώντας την πράξη της πρόσθεσης για ένα άθροισμα που αποτελείται από άπειρους προσθεταίους. Όσους και να προσθέσουμε υπάρχουν και άπειροι άλλοι και δεν είναι άμεσα προφανές αν υπάρχει κάποιο όριο στο άθροισμα αυτό! Κατά συνέπεια δεν μπορούμε  απευθείας να αποφανθούμε αν το άθροισμα αυτό τείνει σε κάποιο πεπερασμένο αριθμό (συγκλίνει ), ή μπορεί να γίνει μεγαλύτερο από οποιοδήποτε αριθμό (αποκλίνει ). Οπότε πως μπορούμε να αποφανθούμε περί της σύγκλισης ή της απόκλισης της αρμονικής σειράς;

Εφόσον αρμονική σειρά είτε αποκλίνει είτε συγκλίνει, αν αποδείξουμε  ότι μια από τις δύο περιπτώσεις είναι λανθασμένη τότε η άλλη υποχρεωτικά είναι ορθή.

Ας θέσουμε το πρόβλημα αναλυτικότερα. Η αρμονική σειρά έχει ως όρους τα κλάσματα με αριθμητή τη μονάδα και παρονομαστή τους διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς δηλαδή το 1, 2, 3, …., ν, ν+1, …Προφανώς οι όροι της αρμονικής σειράς είναι οι αντίστροφοι των φυσικών αριθμών. Ο πρώτος όρος της είναι  η μονάδα (1), ο δεύτερος το κλάσμα ένα δεύτερο (½), ο τρίτος όρος το ένα τρίτο (⅓), ο τέταρτος το ένα τέταρτο (¼) κ.ο.κ. Κάθε επόμενος όρος είναι μικρότερος από τον προηγούμενο με αποτέλεσμα όσο προχωρούμε οι όροι να τείνουν προς το μηδέν. Τι συμβαίνει λοιπόν; Είναι το άθροισμα των απείρων όρων της αρμονικής σειράς πεπερασμένο; Αν ναι πόσο είναι αυτό το άθροισμα; Ας υποθέσουμε  ότι η αρμονική σειρά συγκλίνει σε ένα πραγματικό θετικό αριθμό Α, τον οποίο το άθροισμα των όρων  μπορεί να πλησιάσει όσο  θέλουμε και παρά ταύτα δεν μπορεί να τον φτάσει ή να τον ξεπεράσει. Διατυπώνουμε την υπόθεση μας  στη μαθηματική γλώσσα ως εξής:

 ∑ = 1 +½+⅓+¼+…+1/ν+[1/(ν+1)]+… = Α,    Α∊R+   (1)

 ν=1

 

Αν πολλαπλασιάσουμε την πιο πάνω εξίσωση  επί ένα δεύτερο (½) προκύπτει ότι το άθροισμα των όρων της αρμονικής σειράς με άρτιο παρονομαστή ισούται με το ένα δεύτερο του αθροίσματος ολόκληρης της σειράς, δηλαδή:

½∑ = ½ +¼+ …+1/2ν+… =Α/2 ,      Α∊R+   (2)

ν=1

 

Αφαιρώντας κατά μέλη την εξίσωση (2) από την εξίσωση (1) προκύπτει:

½∑ = 1 +⅓ + …+1/(2ν-1) +… =Α/2 ,····· Α∊R+·· (3)

ν=1

 

Είναι προφανές ότι το άθροισμα των όρων  της αρμονικής σειράς με περιττό παρονομαστή επίσης ισούται με το ήμισυ του αθροίσματος ολόκληρης της σειράς. Άρα  το άθροισμα των όρων με περιττό παρονομαστή ισούται με το άθροισμα τον όρων με άρτιο παρονομαστή. Αν όμως τα δύο αθροίσματα είναι ίσα, τότε προφανώς  η διαφορά τους ισούται με μηδέν, δηλαδή:

[1 + ⅓ + ⅕+ ⅐ +  ….+ 1/(2ν-1)… ] – [ (½ + ¼ + ⅙ + ⅛ + …. + 1/2ν + …] = 0

και άρα:

( 1 – ½ ) + (⅓ - ¼ ) + (⅕ - ⅙) + (⅐ - ⅛ ) +…[ 1/(2ν-1) – 1/2ν ] +….=0

Το συμπέρασμα αυτό είναι εμφανώς άτοπο, αφού κάθε μια από τις άπειρες παρενθέσεις  είναι θετικός αριθμός. Είναι αδύνατο ένα άθροισμα θετικών αριθμών να ισούται με μηδέν. Άρα η αρχική παραδοχή μας περί σύγκλισης της αρμονικής σειράς είναι άτοπη. Αφού λοιπόν η αρμονική σειρά δεν συγκλίνει τότε υποχρεωτικά αποκλίνει και αυτό σημαίνει ότι το άθροισμα των άπειρων όρων της τείνει προς το θετικό άπειρο, είναι δηλαδή μεγαλύτερο από οποιοδήποτε πεπερασμένο θετικό αριθμό.

Σημειώσεις

  1. Η απαγωγή εις άτοπο [ στα λατινικά: reductio ad absurdum ] είναι μέθοδος μαθηματικής απόδειξης. Θεμελιώνεται στις ακόλουθες αρχές της Αριστοτελικής  τυπικής λογικής.

Α. Η αρχή της μη αντίφασης: Καμιά έννοια δεν μπορεί να ταυτιστεί με την αντίθετη της. "το αυτό άμα υπάρχειν τε και μη υπάρχειν αδύνατον…"

Β. Η αρχή του αποκλειόμενου τρίτου. Δύο αντιφατικές προτάσεις, που αναφέρονται  στην ίδια έννοια, είναι αδύνατο να είναι και οι δύο ορθές ή και οι δύο λανθασμένες. Είτε η πρώτη είναι ορθή και η δεύτερη λανθασμένη, είτε η δεύτερη ορθή και η πρώτη λανθασμένη .

Αν η ορθότητα μιας μαθηματική πρότασης  δεν είναι ευθέως αποδείξιμη, τότε αποδεχόμαστε ως ορθή την αντίθετη της και με βάση αυτή την παραδοχή προσπαθούμε να φτάσουμε σε ένα εμφανώς άτοπο συμπέρασμα. Αν φθάσουμε στο άτοπο συμπέρασμα τότε προφανώς η αντίθετη της προς απόδειξη πρότασης είναι λανθασμένη και άρα με βάση την αρχή του αποκλειόμενου μέσου η προς απόδειξη πρόταση είναι ορθή.

  1. Η απόδειξη της απόκλισης της αρμονικής σειράς στο επισυναπτόμενο έγγραφό.
 

Εκπαιδευτικό Υλικό

 

facebook Twitter YouTube
Τελευταία Ενημέρωση:
Κυριακή,
12/11/2017 17:48