Α.Κί.ΔΑ

 

 

 

 

Ποιοι είναι Online

Έχουμε 206 επισκέπτες συνδεδεμένους

 

 

Η γνώμη σας μετρά

Για ποια θα θέλατε να ενημερώνεστε περισσότερο σε αυτή τη σελίδα;






Αποτελέσματα

ΑΚΙΔΑ Facebook

Αρχιμήδους Κύκλου Μέτρησις

Μιχάλης Α. Πόλης, Εκπαιδευτικός

Ο Αρχιμήδης γεννήθηκε το 287 π.Χ. στις Συρακούσες. Ο πατέρας του, ο αστρονόμος Φειδίας,  ήταν μακρινός συγγενής της βασιλικής οικογένειας της πόλης. Σε νεαρή ηλικία ταξίδεψε στην Αίγυπτο, όπου μαθήτεψε κοντά στον περίφημο Ερατοσθένη τον Κυρηναίο και τον Δοσίθεο. Ο Ερατοσθένης δεν ήταν τυχαίος άνθρωπος αφού είχε καταφέρει να μετρήσει το μήκος της περιφέρειας της γης με τη χρήση της στοιχειώδους γεωμετρικής γνώσης των όμοιων τριγώνων. Στην ώριμη ηλικία ο Αρχιμήδης ήταν ιδιαίτερα παραγωγικός. Έγραψε  πέραν των 40 βιβλίων, από τα οποία σώθηκαν λιγότερα από τα μισά. Ποιο κάτω θα κάνουμε μια μικρή αναφορά, ακροθιγώς, σε κάποια από τα έργα του.

Στο έργο του «Περί Σφαίρας και Κυλίνδρου» αποδεικνύει τις σχέσεις μεταξύ των όγκων και των επιφανειών των στερεών αυτών. Απέδειξε ότι « κάθε Σφαίρα έχει τετραπλάσια επιφάνεια από τον κύκλο με την ίδια ακτίνα»  και ότι «σε κάθε ισοσκελή κύλινδρο, η παράπλευρη επιφάνεια του είναι ίση προς κύκλο, ακτίνας ίσης με τη μέση ανάλογο της ακτίνας του κύκλου της βάσης του κώνου και της πλευράς του κώνου.» Στο έργο του «Περί κωνοειδών και σφαιροειδών» καταγράφει 32 θεωρήματα για τις κωνικές τομές και τα χαρακτηριστικά των επιφανειών που παράγονται από την περιστροφή παραβολών, υπερβολών και ελλείψεων  γύρω από τον άξονα τους. Στο σύγγραμμα «Περί Ελίκων» αποδεικνύει 18 θεωρήματα. Στο ίδιο έργο με τη χρήση της έλικας του, δίνει μια μεγαλοφυή λύση στον άλυτο γρίφο  του τετραγωνισμού του κύκλου.  Η λύση αυτή όμως δεν ανταποκρινόταν στα κριτήρια της κλασσικής γεωμετρίας, που δογμάτιζε τη λύση των προβλημάτων με χάρακα και διαβήτη. Ήταν μια λύση με μεθόδους κινητικής γεωμετρίας. Άλλα έργα του που διασώθηκαν είναι το «Περί επιπέδων ισορροπιών» όπου προσδιορίζει τα κέντρα βάρους ευθυγράμμων σχημάτων καθώς και επιπέδων παραβολικών επιφανειών. Ο Αρχιμήδης παρέλαβε από τον Εύδοξο  την «μέθοδο της εξαντλήσεως» και την ανάπτυξε περαιτέρω για τη μέτρηση εμβαδών και όγκων καμπυλόγραμμων σχημάτων και στερεών. Η μέθοδος αυτή θεωρείται προδρομική του απειροστικού λογισμού, τον οποίο ο Newton ανακάλυψε ξανά και τελειοποίησε περαιτέρω τον 18ο αιώνα.

Άραβες μελετητές διέσωσαν  έργα του Αρχιμήδη,  μεταφράζοντας τα στην αραβική γλώσσα: Τέτοια συγγράμματα είναι τα  «Λήμματα» με 15 προτάσεις, μεταξύ των οποίων η περίφημη λύση του γρίφου της τριχοτόμησης οξείας γωνίας με κινητική γεωμετρία.  Ο Άραβας Μαθηματικός Tabit ibn Quurra διέσωσε  το σύγγραμμα «Επί του Επταγώνου» με  17 θεωρήματα  για την κατασκευή και τις ιδιότητες του κανονικού αυτού πολυγώνου. Άλλα έργα του που διασώθηκαν από Άραβες μελετητές είναι τα «Αρχαί της Γεωμετρίας» με 19 θεωρήματα, και «Περί κύκλων εφαπτομένων αλλήλων» με 14 θεωρήματα.

Αν ο Ευκλείδης αποκαλείται πατέρας της Γεωμετρίας, ο Αρχιμήδης μπορεί να αποκληθεί ως πατέρας της Μηχανικής και της Υδροστατικής. Στο έργο του «Περί των εν ύδατι εφισταμένων ή οχουμένων» διατυπώνει την περίφημη αρχή που φέρει το όνομα του « Κάθε βυθισμένο στερεό σώμα, χάνει τόσο βάρος, όσο το βάρος του υγρού που εκτοπίζει». Ο Αρχιμήδης δεν ήταν μόνο σπουδαίος θεωρητικός αλλά και ένας ευφυής πρακτικός μηχανικός που δημιούργησε μηχανές για ειρηνικούς αλλά και πολεμικούς σκοπούς, όπως τα περίφημα κάτοπτρα, με τα οποία έκαψε το Ρωμαϊκό στόλο που πολιορκούσε τις Συρακούσες, το τηλεβόλο ατμού με το οποίο έριχνε πέτρινες σφαίρες 2,5 κιλών σε απόσταση 400 μέτρων, το υδραυλικό ρολόι, τον ατέρμονα κοχλία που χρησιμοποιούν ακόμα και σήμερα στην Αίγυπτο για να αντλούν νερό και να ποτίζουν τα χωράφια τους, το αραιόμετρο, το πλανητάριο, γερανούς κα .

Ο Αρχιμήδης όρισε με αξιοσημείωτη ακρίβεια  το λόγο της περιφέρειας προς τη διάμετρο του κύκλου. Ο λόγος αυτός συμβολίζεται σήμερα με το διάσημο αριθμό π, ο οποίος είναι άρρητος και υπερβατικός,  αφού δεν μπορεί να γραφεί ούτε ως λόγος δύο ακεραίων αριθμών, ούτε είναι ρίζα πολυωνυμικής εξίσωσης με ρητούς συντελεστές. Προφανώς δεν μπορούμε να  αναπαραστήσουμε πλήρως τον π ως δεκαδικό, αφού έχει άπειρα, μη επαναλαμβανόμενα δεκαδικά ψηφία.  Τα πρώτα εκατό δεκαδικά ψηφία του π  είναι:

3, 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679..

Στο έργο του «Κύκλου Μέτρησις» ο Αρχιμήδης προσπαθεί να υπολογίσει το λόγο [Περιφέρεια/ Διάμετρος] . Ο μέγας μαθηματικός είχε άριστη γνώση των κανονικών πολυγώνων και των ιδιοτήτων τους.  Ήξερε ότι τα σχήματα αυτά, εκτός από ισόπλευρα και ισογώνια, είναι εγγράψιμα και περιγράψιμα σε κύκλο. Εμπειρικά είχε σίγουρα παρατηρήσει ότι όσο μεγαλύτερος ο αριθμός των πλευρών των σχημάτων αυτών, τόσο αυτά τείνουν να ταυτιστούν με τον κύκλο. Η μέθοδος υπολογισμού του είναι λοιπόν  προσεγγιστική. Αρχίζει με την παραδοχή ότι η περίμετρος δοθέντος κύκλου είναι μεγαλύτερη από την περίμετρο κανονικού εγγεγραμμένου εντός αυτού σχήματος και μικρότερη από την περίμετρο ισόπλευρου  κανονικού σχήματος που περιγράφεται  στον ίδιο κύκλο.

Αρχίζει τους υπολογισμούς του με δύο κανονικά εξάγωνα,  που εγγράφονται και περιγράφονται αντίστοιχα στον ίδιο κύκλο. Εύκολα υπολόγισε ότι η πλευρά του εγγεγραμμένου εξάγωνου είναι ίση με την ακτίνα του κύκλου. Αντίστοιχα η πλευρά  του κανονικού εφαπτόμενου εξάγωνου ισούται κατά προσέγγιση με 2Ρ/√3 =1,1547.. ακτίνες  Αν συμβολίσουμε τη διάμετρο του κύκλου με Δ και την περιφέρεια με Π προκύπτει ότι ο λόγος π= Π/Δ ευρίσκεται εντός του πιο κάτω διαστήματος:

3 < π < 2 √3

Ακολούθως ο Αρχιμήδης κατασκεύασε, διπλασιάζοντας τις πλευρές  κανονικά  12-γωνα το ένα εγγεγραμμένο και το άλλο να περιγράφεται στον ίδιο κύκλο.  Με χρήση στοιχειώδους τριγωνομετρίας  μπορούμε να υπολογίσουμε τις πλευρές. Η πλευρά του κανονικού εγγεγραμμένου 12-γώνου ισούται με 2Ρ ημ15⁰ και η πλευρά του 12-γώνου που περιγράφεται στον ίδιο κύκλο 2Ρ εφ 15⁰. Προφανώς οι λόγοι περιμέτρων είναι 6,21165.. ακτίνες < Περιφέρεια < 6,4307806..ακτίνες  και το π ορίζεται στο διάστημα:

3,105828541..< π < 3,215390309..

Επαναλαμβάνοντας την ίδια διαδικασία με κανονικά πολύγωνα 24 πλευρών ο Αρχιμήδης πέτυχε την  προσέγγιση : 3,132628613.. <  π < 3,159659942. Διπλασιάζοντας τις πλευρές και φτάνοντας στα κανονικά πολύγωνα 48 πλευρών έφτασε στην προσέγγιση 3,139350203 ..< π < 3,146086215..Η τελευταία προσέγγιση που έκανε  αφορούσε κανονικά πολύγωνα 96 πλευρών. Έφθασε στο αποτέλεσμα 3,141031951 < π < 3,1427146. Σταμάτησε εδώ για πρακτικούς λόγους. Είχε καταφέρει να υπολογίσει το π με αξιοσημείωτη προσέγγιση. Οι υπολογισμοί του δεν περιείχαν εφαπτόμενες, δεκαδικούς και ημίτονα αλλά κλάσματα.   Η κλασματική προσέγγιση του Αρχιμήδη, για το π, αξιοσημείωτη για τα μέτρα της εποχής, ήταν: 223/71 < π < 22/7. Η μέθοδος υπολογισμού του π με κανονικά πολύγωνα μπορεί να μας δώσει ακόμα καλύτερες προσεγγίσεις κάθε φορά που διπλασιάζουμε των αριθμό των πλευρών. Με κανονικά πολύγωνα 192 πλευρών παίρνουμε την προσέγγιση 3,141452472.. < π < 3,14187305, ενώ για κανονικά πολύγωνα 384 πλευρών η προσέγγιση είναι 3,141557608 < π < 3,141662747 ..Μπορούμε να προχωρήσουμε περεταίρω για όσο καλύτερες προσεγγίσεις θέλουμε. Παραθέτουμε τους σχετικούς υπολογισμούς σε ξεχωριστό έγγραφο πίνακα που επισυνάπτεται.

Βιβλιογραφία:

1.       ZEBROWSKI ERNEST, JR Η Ιστορία του Κύκλου, Μαθηματική Λογική και το Φυσικό Σύμπαν, Εκδόσεις Κέδρος

2.       Λαζός, Δ. Χρίστος: Αρχιμήδης, Ο Ευφυής Μηχανικός, Εκδόσεις ΑΙΟΛΟΣ ΑΘΗΝΑ 1995

3.       Τσιμπουράκη Δημήτρη, Μαθηματικού – Αρχιτέκτονα: Η Γεωμετρία και οι εργάτες της στην Αρχαία Ελλάδα, εκδόσεις ALIEN  ΑΘΗΝΑ 1985

4.       Μπλάτνερ Ντέϊβιντ, η χαρά του π, εκδόσεις ΩΚΕΑΝΙΔΑ

 

Εκπαιδευτικό Υλικό

 

facebook Twitter YouTube
Τελευταία Ενημέρωση:
Τετάρτη,
11/10/2017 16:53